Высшая математика. Алгебра: введение в теорию групп

В настоящем курсе детально обсуждаются как основные понятия и важнейшие факты общей теории групп, так и несколько более глубоких результатов, относящихся к арифметическим свойствам и структуре конечных групп.

Высшая математика. Алгебра: введение в теорию групп
Бесплатно
13 недель13 недель
Сертификат гос. образцаСертификат гос. образца
Платный сертификатПлатный сертификат
РусскийРусский
СПбГУ
Открытое Образование

Описание:

Теория групп, состоящая в изучении симметрий различных объектов, возникающих в природе, математике, науке и искусстве, стала в XIX—XX веках одним из центральных разделов математики. Сегодня она имеет огромное и все возрастающее прикладное значение (кристаллография, физика ядер и элементарных частиц, физика твердого тела, квантовая химия, обработка сигналов, криптография и теория кодирования и т.д.).

Курс адресован двум аудиториям. С одной стороны, он содержит весь материал, обычно включаемый в общие курсы алгебры, читаемые на 1—2 курсе студентам математических специальностей (математика, прикладная математика,теоретическая информатика). Он покрывает все относящиеся к теории групп потребности других математических курсов и может рассматриваться как один из необходимых модулей для получения общематематического образования. С другой стороны, в силу прикладного значения, знакомство с основами теории групп абсолютно необходимо многим физикам, химикам, геологам и инженерам, и настоящий курс должен дать им возможность ознакомиться с необходимыми разделами теории групп без прохождения полного курса алгебры для математиков.

В результате освоения курса студент должен будет:

Знать:

  • основные классы групп, терминологию, классические примеры конечных и бесконечных групп, базовые теоремы теории групп
  • тенденции развития теории групп

Уметь:

  • применять изученные теоремы в доказательствах новых теорем
  • использовать специальную литературу, справочники, математические энциклопедии
  • применять методы теории групп в различных областях математики

Программа курса:

Неделя 1. Вводная лекция
Неделя 2. Основные определения и примеры

  • Определение группы, простейшие свойства групп, примеры групп;
  • Подгруппы, порождение подгрупп, циклические группы;
  • Классы смежности, индекс подгруппы, теорема Лагранжа.

Неделя 3.

  • Двойные смежные классы, формула индекса Фробениуса;
  • Нормальные подгруппы и фактор-группы;
  • Классы сопряженности.

Неделя 4. Гомоморфизмы групп

  • Определение и примеры гомоморфизмов, ядро и образ, теорема о гомоморфизме;
  • Теоремы об изоморфизме, строение группы автоморфизмов.

Неделя 5. Группы перестановок

  • Симметрическая группа, циклы, транспозиции;
  • Знак перестановки и знакопеременная группа.

Неделя 6. Действия групп на множестве

  • Определение и примеры действий групп;
  • Орбита, стабилизатор, неподвижные точки;
  • Классификация действий групп;
  • Лемма Бернсайда и комбинаторные приложения.

Неделя 7. Коммутаторы и коммутант

  • Коммутаторы и коммутант, тождества с коммутаторами;
  • Коммутант симметрической и полной линейной групп.

Неделя 8. Произведения групп, разрешимость и нильпотентность

  • Прямые и полупрямые произведения групп, расширения;
  • Ряды подгрупп, разрешимые и нильпотентные группы.

Неделя 9. p-группы и теоремы Силова

  • p-группы, теорема Коши о существовании элементов простого порядка;
  • Теоремы Силова с доказательствами.

Неделя 10. Задание групп образующими и соотношениями

  • Свободные группы, соотношения в группах;
  • Примеры задания групп образующими и соотношениями: циклические и диэдральные группы, S4 и A4.

Неделя 11. Геометрические примеры групп

  • Группы кос и их задание образующими и соотношениями;
  • Кокстеровское задание групп перестановок;
  • Группы, порожденные отражениями.

Неделя 12. Классификация групп малых порядков

  • Классификация групп, порядок которых делится на малое количество простых чисел;
  • Классификация групп порядка 8 и 12;
  • Классификация простых групп порядка 60.

Неделя 13. Завершающая лекция и итоговый экзамен