Высшая математика. Математический анализ

Этот курс логически является первой частью двойного авторского курса Алексея Савватеева "Высшая математика для всех". 

Высшая математика. Математический анализ
Бесплатно
16 недель16 недель
Сертификат гос. образцаСертификат гос. образца
Платный сертификатПлатный сертификат
РусскийРусский
МФТИ
Открытое Образование

Описание:

Здесь излагаются основные понятия математического анализа: предел и его различные применения (сумма ряда, предел последовательности, производная, интеграл), непрерывность, построение графиков функций, функциональные последовательности и ряды (в частности, степенные). Курс в первую очередь ориентирован на слушателей, начинающих изучение этих тем или знакомых с ними поверхностно и желающих разобраться глубже. В отличие от классических курсов высшей математики, лектор не стремится к строгому формальному изложению материала и систематическому покрытию всех тем. Изложение строится вокруг ряда математических сюжетов, которые обсуждаются сначала неформально и на примерах, и только потом − с использованием строгих формулировок. Главной сюжетной линией является построение экспоненты как функции сначала вещественной, а потом и комплексной переменной (а в последующей второй части курса, посвящённой линейной алгебре, будет строиться экспонента от оператора). В связи с этой задачей оказываются задействованными основные инструменты математического анализа и типичные приёмы математических рассуждений, вокруг чего и строится материал лекций и семинаров. 

Программа курса:

  1. Мотивирующие примеры: как далеко видно с горы, приближенные вычисления, последовательность вложенных треугольников.
  2. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Полнота множества вещественных чисел. Признаки сходимости рядов: интегральный, Даламбера и Коши.
  3. Последовательности, интуитивное представление о сходимости. Сходимость без указания предела (фундаментальные последовательности). Предел последовательности, его связь с суммой ряда. Примеры пределов последовательностей. Рекуррентные последовательности.
  4. Общее понятие предела, основанное на системе окрестностей. Использование пределов в математическом анализе: производная, задание и вычисление вещественных чисел, интеграл, асимптотика.
  5. Многочлены и их графики. Корни многочлена и теорема Безу. Локальные экстремумы и производная. Старшие производные.
  6. Экспонента: введение. Возникновение экспоненты и числа e в различных задачах.
  7. Экспонента: алгебраический подход. Теорема о промежуточном значении и неизменность знака экспоненты. Построение экспоненты "по непрерывности".
  8. Степенные ряды. Экспонента как степенной ряд. Число e − основание степени в экспоненте. "Замечательный предел" для числа e и экспоненты. Продолжение экспоненты на комплексную плоскость. Раскрытие скобок в произведении рядов. Абсолютная сходимость ряда и перестановка слагаемых. Условно сходящиеся ряды.
  9. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость функциональных последовательностей. Мажорируемая сходимость. Радиус сходимости степенного ряда.
  10. Комплексная экспонента. Комплексные тригонометрические функции.